三垂线定理及其逆定理（图解）
2021-11-24 cfan 互联网
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三垂线定理及其逆定理（图解）
1、三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
线面垂直证明，例如已知：PO 在 α 上的射影 OA 垂直于 a 。求证：OP⊥a。
∵PA⊥α且a⊂α，∴a⊥PA。
∴a⊥平面POA，∴a⊥OP。
备注：三垂线定理对任意位置的平面都成立。因为定理中并没有水平平面的限制，定理的实质是研究平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系，与平面的位置无关。因为a是平面α内的任意一条直线，所以a与斜线PO的位置关系有情况：不过斜足O的异面垂直。
2、三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。三垂线定理是立体几何的重要定理之一，由于定理中涉及三条与平面内已知直线有垂直关系的直线，故称为三垂线定理。
3、其实三垂线定理从证明的角度看，可以认为是线面垂直转化关系的一个常用推论。这是一个标准的从线线垂直（一般是共面）转化为线面垂直又转化为新的线线垂直（一般是异面）的立体几何推理过程。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
